Progresiones aritméticas
También llamada sucesión aritmética, una progresión aritmética es una sucesión infinita de números reales en la que cada uno de
ellos, después del primero, se obtiene del anterior sumando a éste, una cantidad llamada
diferencia, d.
La ley de formación de una sucesión aritmética es:
Veamos un ejemplo: Halla la fórmula general de la siguiente progresión: 1;4;7;10;13;...
Aquí podemos ver que cada valor se obtiene sumando 3 unidades al siguiente, por lo tanto, obtuvimos el valor de d=3. Solo nos faltaría el primer término, que en este caso será 1, por lo tanto la fórmula general de la progresión aritmética que vimos en el ejemplo será:
Dependiendo el término que deseemos averiguar, simplemente podremos reemplazar n por la posición ocupada y podremos averiguar qué valor será.
Suma de términos de una progresión aritmética
Para sumar los n primeros términos de una sucesión aritmética se puede usar la fórmula:
Veamos un ejemplo: calcula la suma de los 15 primeros múltiplos de 5. Aquí tendremos que el primer término será 5 y el término 15 será 75 (5.15), n equivale a la cantidad de términos así que valdrá 15. Reemplazando los valores en la fórmula obtendremos lo siguiente:
En caso de que se desconozca el último término pero sepamos cuál es el primero y la diferencia, podremos utilizar la siguiente fórmula:
Si probamos la fórmula anterior con el problema de los múltiplos de 5, veremos que llegaremos al mismo resultado:
Progresiones aritméticas aplicadas al interés simple
Hablamos de interés simple cuando el rendimientos que nos produce una cierta inversión solo depende de la cantidad inicial del capital invertido. Los intereses que se van produciendo a lo largo del proceso no entran en juego de generar nuevos beneficios.
Ahora te preguntarás, ¿cómo aplicamos las progresiones aritméticas a las matemáticas financieras? Para comprenderlo, veamos el siguiente ejemplo: supongamos que una persona pide al banco un préstamo de $6000 a un interés mensual del 1% sobre saldos, es decir que los intereses se calculan sobre lo que resta pagar al iniciar el mes, y al final de cada mes paga $200 al capital más el interés que corresponda.
El primer mes deberá pagar $200 más el 1% de $6000, que son $60. Es decir, el primer mes paga $260.
El segundo mes paga $200 sobre el capital más los intereses del 1% sobre $5800 (saldo que nos queda sin pagar), lo cual equivale a $58, por lo cual el segundo mes pagará $258.
Continuando con este pago, la sucesión de pagos será:
Podemos observar que estamos frente a una progresión aritmética donde el primer término es 260 y la diferencia es -2(ya que a medida que van pasando los meses, cada mes pagará $2 menos que el mes anterior).
¿Te gustaría seguir practicando? Te invito a que realices el siguiente escape game: